Question

（2012•江西）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A=

π

4

，bsin（

π

4

+C）-csin（

π

4

+B）=a，
（1）求证：B-C=

π

2

（2）若a=

2

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）通过正弦定理以及浪迹花都三角函数化简已知表达式，推出B-C的正弦函数值，然后说明B-C=

π

2

．
（2）利用a=

2

，通过正弦定理求出b，c，然后利用三角形的面积公式求△ABC的面积．

解答：解：（1）证明：由bsin（

π

4

+C）-csin（

π

4

+B）=a，由正弦定理可得sinBsin（

π

4

+C）-sinCsin（

π

4

+B）=sinA．
sinB（

2

2

sinC+

2

2

cosC）-sinC（

2

2

sinB+

2

2

cosB）=

2

2

．
整理得sinBcosC-cosBsinC=1，
即sin（B-C）=1，
由于0＜B，C＜

3π

4

，从而B-C=

π

2

．
（2）解：B+C=π-A=

3π

4

，因此B=

5π

8

，C=

π

8

，
由a=

2

，A=

π

4

，得b=

asinB

sinA

=2sin

5π

8

，c=

asinC

sinA

=2sin

π

8

，
所以三角形的面积S=

1

2

bcsinA=

2

sin

5π

8

sin

π

8

=

2

cos

π

8

sin

π

8

=

1

2

．

点评：本题考查三角形的解法，正弦定理的应用，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．