Question

设m∈{1，2，3，4}，n∈{-12，-8，-4，-2}，则函数f（x）=x³+mx+n在区间[1，2]上有零点的概率是（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  9

  16

• C．

  11

  16

• D．

  13

  16

Answer 1

分析：根据题意易得，f（x）=x³+mx+n在R上单调递增，进而可得若函数f（x）=x³+mx+n在区间[1，2]上有零点，必须有

f(1)≤0 f(2)≥0

，解可得-2m-8≤n≤-m-1，进而分m=1、m=2、m=3、m=4四种情况讨论，求出满足-2m-8≤n≤-m-1的n的值，可得满足f（x）在[1，2]上有零点的情况数目，由分步计数原理可得函数f（x）=x³+mx+n的解析式的情况数目，进而由等可能事件的概率，计算可得答案．

解答：解：根据题意，f′（x）=3x²+m，又由m＞0，则f′（x）=3x²+m＞0；
故f（x）=x³+mx+n在R上单调递增，
则若函数f（x）=x³+mx+n在区间[1，2]上有零点，
只需满足条件

f(1)≤0 f(2)≥0

，
从而解得m+n≤-1且2m+n≥-8，
∴-2m-8≤n≤-m-1，
当m=1时，n取-2，-4，-8；
m=2时，n取-4，-8，-12；
m=3时，n取-4，-8，-12；
m=4时，n取-8，-12； 
共11种取法，
而m有4种选法，n有4种选法，则函数f（x）=x³+mx+n情况有4×4=16种，
故函数f（x）=x³+mx+n在区间[1，2]上有零点的概率是

11

16

；
故选C．

点评：本题考查等可能事件的概率与函数零点的判定，关键在于根据函数零点的判定方法，分析出m、n之间的关系．