题目内容
△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
（1）证明：acosB+bcosA=c；
（2）若
=
，求角B的大小．
（1）证明：acosB+bcosA=c；
（2）若
| sinC |
| 2sinA-sinC |
| b2-a2-c2 |
| c2-a2-b2 |
考点：余弦定理的应用
专题：综合题,解三角形
分析：（1）先利用正弦定理把a和b的表达式代入acosB+bcosA中，利用了两角和公式化简整理，求得acosB+bcosA=2RsinC，进而把2RsinC转化成边，原式得证；
（2）利用余弦定理，正弦定理化简，可得cosB=
，即可求角B的大小．
（2）利用余弦定理，正弦定理化简，可得cosB=
| 1 |
| 2 |
解答：
（1）证明：由正弦定理得：
=
=
=2R
∴左=acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA
=2Rsin（B+A）=2RsinC=c=右
原式得证．
（2）解：∵
=
，
∴
=
，
∴sinBcosC=2sinAcosB-cosBsinC，
∴sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB，
∴sinA=2sinAcosB，
∴cosB=
，
∵0°＜B＜180°，
∴B=60°．
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
∴左=acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA
=2Rsin（B+A）=2RsinC=c=右
原式得证．
（2）解：∵
| sinC |
| 2sinA-sinC |
| b2-a2-c2 |
| c2-a2-b2 |
∴
| sinC |
| 2sinA-sinC |
| ccosB |
| bcosC |
∴sinBcosC=2sinAcosB-cosBsinC，
∴sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB，
∴sinA=2sinAcosB，
∴cosB=
| 1 |
| 2 |
∵0°＜B＜180°，
∴B=60°．
点评：本题主要考查了余弦定理、正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理完成了边角问题的互化．
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