Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}的首项a₁=3，设数列的前项和为S_n，且

1

a1

，

1

a2

，

1

a4

成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式及S_n；
（II）求An=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意可求得等差数列{a_n}的公差，从而可数列{a_n}的通项公式及S_n；
（II）由（Ⅰ）里用裂项法可求得

1

Sn

，累加即可求得A_n．

解答：解：（Ⅰ）由a₁=3且

1

a1

、

1

a2

、

1

a4

成等比数列得(

1

a2

)2=

1

a1

×

1

a4

，
即(

1

3+d

)2=

1

3

×

1

3+3d

，
解得d=3．
∴数列{a_n}的通项公式a_n=3n，
∴S_n=

3n(n+1)

2

．
（2）∵

1

Sn

=

2

3

（

1

n

-

1

n+1

），
∴A_n=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

2

3

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=

2

3

（1-

1

n+1

）
=

2n

3n+3

．

点评：本题考查等比数列的性质与裂项法求和，求得a_n的通项公式是关键，考查分析与转化的解决问题的能力，属于中档题．