题目内容
已知a、b、c∈R+，且a+b+c=1．求证：（1+a）（1+b）（1+c）≥8（1-a）（1-b）（1-c）．分析：应用分析法证明．将待证式中的：“1”用a+b+c代换，再结合基本不等式进行放缩，最后利用不等式的基本性质即可．
解答：证明：∵a、b、c∈R+且a+b+c=1，
∴要证原不等式成立，
即证[（a+b+c）+a]•[（a+b+c）+b][（a+b+c）+c]≥8[（a+b+c）-a]•[（a+b+c）-b]•[（a+b+c）-c]．
也就是证[（a+b）+（c+a）][（a+b）+（b+c）]•[（c+a）+（b+c）]≥8（b+c）（c+a）（a+b）．①
∵（a+b）+（b+c）≥2
＞0，
（b+c）+（c+a）≥2
＞0，
（c+a）+（a+b）≥2
＞0，
三式相乘得①式成立．
故原不等式得证．
∴要证原不等式成立，
即证[（a+b+c）+a]•[（a+b+c）+b][（a+b+c）+c]≥8[（a+b+c）-a]•[（a+b+c）-b]•[（a+b+c）-c]．
也就是证[（a+b）+（c+a）][（a+b）+（b+c）]•[（c+a）+（b+c）]≥8（b+c）（c+a）（a+b）．①
∵（a+b）+（b+c）≥2
| (a+b)(b+c) |
（b+c）+（c+a）≥2
| (b+c)(c+a) |
（c+a）+（a+b）≥2
| (c+a)(a+b) |
三式相乘得①式成立．
故原不等式得证．
点评：从求证的不等式出发，逐步分析寻求使这个不等式成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的不等式成立，这种执果所因的思考和证明方法叫做分析法．
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