Question

（2009•闵行区二模）（理）已知椭圆

x=acosθ y=bsinθ

（θ为参数）上的点P到它的两个焦点F₁、F₂的距离之比|PF1|：|PF2|=2：

3

，且∠PF1F2=α(0＜α＜

π

2

)，则α的最大值为（　　）

• A．

  π

  6

• B．

  π

  4

• C．

  π

  3

• D．arccos

  2 3

  3

Answer 1

分析：本选择题利用特殊值法解决，不妨设|PF₁|=2，|PF2|=

3

，|F₁F₂|=2c，在△PF₁F₂中由余弦定理结合基本不等式得cosα的取值范围，从而得出α的最大值．

解答：解：不妨设|PF₁|=2，|PF2|=

3

，|F₁F₂|=2c，
则2a=2+

3

⇒a=

1

2

（2+

3

），
∴c＜a=

1

2

（2+

3

），
在△PF₁F₂中，由余弦定理得：cosα=

PF 1 2+F  1F 2 2-PF   2 2

2PF 1•F 1F 2

=

4+4c 2-3

8c

=

1+4c 2

8c

∵

1+4c 2

8c

=

1

8c

+

c

2

≥2

1 8c • c 2

=

1

2

，当且仅当c=

1

2

时取等号，
∴cosα的最小值为

1

2

，结合0＜α＜

π

2

得0＜α≤

π

3

则α的最大值为

π

3

．
故选：C

点评：本小题主要考查椭圆的参数方程、余弦定理、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．