Question

已知向量

m

=(

3

sin

x

4

，1)，

n

=(cos

x

4

，cos2

x

4

)，记f(x)=

m

•

n

，
（1）求f（x）的值域和单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，若f(A)=

1+ 3

2

，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式，竞夸轻俊函数的值域，利用正弦函数的单调性求解函数的单调增区间．
（2）利用正弦定理以及两角和的正弦函数求出B的余弦函数值，利用f(A)=

1+ 3

2

求出A的值，即可判断三角形的形状．

解答：解：因为向量

m

=(

3

sin

x

4

，1)，

n

=(cos

x

4

，cos2

x

4

)，
所以f(x)=

m

•

n

=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

+

1

2

（1）f(x)=sin(

x

2

+

π

6

)+

1

2

，值域[-

1

2

，

3

2

]．
令2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

得4kπ-

4π

3

≤x≤4kπ+

2π

3

，k∈Z，
单调增区间是[4kπ-

4π

3

，4kπ+

2π

3

]，k∈Z．
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA
∵sinA＞0，∴cosB=

1

2

∵B∈（0，π），∴B=

π

3

∵f(A)=

1+ 3

2

，
∴sin（

A

2

+

π

6

）=

3

2

∴

A

2

+

π

6

=

π

3

或

A

2

+

π

6

=

2π

3

∴A=

π

3

或A=π（舍去）
∴C=

π

3

∴A=

π

3

，B=

π

3

，C=

π

3

，所以三角形为等边三角形．

点评：本题考查向量与三角函数知识的综合，考查三角函数的化简，考查正弦定理的运用，正确运用公式是关键．