Question

已知向量

m

=(

3

sinx-cosx，  1)，

n

=(cosx，  

1

2

)，若f(x)=

m

•

n

．
（1） 求函数f（x）的最小正周期；
（2） 已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3， f(

C

2

+

π

12

)=

3

2

（C为锐角），2sinA=sinB，求C、a、b的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积公式表示出f（x）；利用三角函数的二倍角公式及公式asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+α)
利用三角函数的周期公式求出周期．
（2）先求出角C，利用正弦定理将三角函数的关系转化为边的关系在，再利用余弦定理求出边．

解答：解：（1）f(x)=

m

•

n

=

3

sinxcosx-cos2x+

1

2

=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

+

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x
=sin(2x-

π

6

)（4分）
∴f（x）的最小正周期为π．（6分）
（2）∵f(

C

2

+

π

12

)=sinC=

3

2

， ∵0＜C＜

π

2

，∴C=

π

3

（8分）
∵2sinA=sinB．由正弦定理得b=2a，①（9分）
∵c=3，由余弦定理，得9=a2+b2-2abcos

π

3

，②（10分）
解①②组成的方程组，得

a= 3 b=2 3

．　　　（12分）

点评：本题考查向量的数量积公式、考查三角函数的二倍角公式、考查三角函数的和差角公式、考查三角形中的正弦定理余弦定理．