Question

（本小题满分14分）定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．

已知函数；

（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；

（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围

 

Answer 1

（1）见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）当时，在上递减，所以，即在的值域为,故不存在常数，使成立, 函数在上不是有界函数。

（2）由题意知，|f（x）|≤3在上恒成立，即在上恒成立,再利用单调性求出，，从而得到a的范围．

试题解析：（1）当时，,∵在上递减，所以，即在的值域为,故不存在常数，使成立,所以函数在上不是有界函数．

（2）由题意，在上恒成立。,, 在上恒成立,

设，，，由得 t≥1，设，

,,

所以在上递减，在上递增,

在上的最大值为,在上的最小值为,

所以实数的取值范围为．

考点：二次函数在闭区间上的最值；函数的值域．