Question

【题目】（本小题满分14分）

已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)．

(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；

(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝ .（2）实数a的取值范围是(－3，＋∞).

【解析】试题分析：（1）先判断函数f(x)的单调性，利用单调性求函数的最值；（2）f(x)＝在区间[1，＋∞)恒成立等价于在区间[1，＋∞)恒成立，即 在区间[1，＋∞)恒成立，令φ(x)＝－(x2＋2x)并求其在[1，＋∞)上的最大值即可．

试题解析：

(1)当a＝ 时，f(x)＝x＋ ＋2，任取1≤x1＜x2，

则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋＝ ，

∵1≤x1＜x2，∴x1x2＞1，∴2x1x2－1＞0.

又x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)，

∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数，

∴f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝ .

(2)在区间[1，＋∞)上，f(x)＝恒成立，

则 等价于a大于函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．

只需求函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．

φ(x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上递减，

∴当x＝1时，φ(x)最大值为φ(1)＝－3.

∴a＞－3，故实数a的取值范围是(－3，＋∞).