Question

【题目】已知函数， ．

（1）当时，求函数的单调增区间；

（2）设函数， ．若函数的最小值是，求的值；

（3）若函数， 的定义域都是，对于函数的图象上的任意一点，在函数的图象上都存在一点，使得，其中是自然对数的底数， 为坐标原点．求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：求函数的单调区间可利用求导完成，求函数的最值可通过求导研究函数的单调性求出极值，并与区间端点函数值比较得出最值；解决问题，先求出斜率的取值范围，根据垂直关系得出斜率的取值范围，转化为恒成立问题，借助恒成立思想解题.

试题解析：

（1）当时， ， ．

因为在上单调增，且，

所以当时， ；当时， ．

所以函数的单调增区间是．

（2），则，令得，

当时， ，函数在上单调减；

当时， ，函数在上单调增．

所以．

①当，即时，

函数的最小值，

即，解得或（舍），所以；

②当，即时，

函数的最小值，解得（舍）．

综上所述， 的值为．

（3）由题意知， ， ．

考虑函数，因为在上恒成立，

所以函数在上单调增，故．

所以，即在上恒成立，

即在上恒成立．

设，则在上恒成立，

所以在上单调减，所以．

设，

则在上恒成立，

所以在上单调增，所以．

综上所述， 的取值范围为．