题目内容

已知圆K过定点A(a,0)(a＞0),圆心K在抛物线C:y2=2ax上运动,MN为圆K在y轴上截得的弦.

(1)试问MN的长是否随圆心K的运动而变化?

(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时,抛物线C的准线与圆K有怎样的位置关系?证明你的结论.

解：(1)设圆心K(x0,y0),且y02=2ax0,圆K的半径R=|AK|==,

∴|MN|=2=2=2a(定值).

∴弦MN的长不随圆心K的运动而变化.

(2)设M(0,y1),N(0,y2),

在圆K:(x-x0)2+(y-y0)2=x02+a2中,

令x=0,得y2-2y0y+y02-a2=0.

∴y1y2=y02-a2.

∵|OA|是|OM|和|ON|的等差中项,

∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a.

又∵|MN|=|y1-y2|=2a,

∴|y1|+|y2|=|y1-y2|.

∴y1·y2≤0.因此y02-a2≤0,

即2ax0-a2≤0,

∴0≤x0≤.

圆心K到抛物线准线的距离d=x0+≤a,

而圆K半径R=≥a,

以上两式不能同时取等号,故圆K必与准线相交.

练习册系列答案
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已知圆C过定点F（-
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，0），且与直线x=
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相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线l：y=k（x+1）（k∈R）相交于A、B两点．
（I）求曲线E的方程；
（II）当△OAB的面积等于
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时，求k的值；

(12分)如图，已知圆C：,定点A(1,0),M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足=,?=0，点N的轨迹为曲线E.

（Ⅰ）求曲线E的方程；

（Ⅱ）若过定点A(1,0)的直线交曲线E于不同的两点G、H，

且满足∠GOH为锐角，求直线的斜率k的取值范围.

已知圆k过定点A(a,0)(a＞0),圆心k在抛物线C: y2=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦.

(1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？

(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系？
已知圆C过定点F（-，0），且与直线x=相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线l：y=k（x+1）（k∈R）相交于A、B两点．
（I）求曲线E的方程；
（II）当△OAB的面积等于时，求k的值；

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