Question

8．当0＜x＜a时，不等式$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{（a-x）^{2}}$≥2恒成立，则实数a的最大值为2．

Answer 1

分析 想法求出左边式子的最小值，首先把分式形式乘以a²，变形为2+[$\frac{2（a-x）}{x}$+$\frac{2x}{a-x}$]+[$\frac{（a-x）^{2}}{{x}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{（a-x）^{2}}$]，利用均值不等式得出式子的最小值．

解答 解：∵（$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{（a-x）^{2}}$）a²
=（$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{（a-x）^{2}}$）[x+（a-x）]²
=（$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{（a-x）^{2}}$）[x²+2x（a-x）+（a-x）²]
=2+[$\frac{2（a-x）}{x}$+$\frac{2x}{a-x}$]+[$\frac{（a-x）^{2}}{{x}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{（a-x）^{2}}$]
≥2+4+2=8
∴$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{（a-x）^{2}}$≥$\frac{8}{{a}^{2}}$
∴$\frac{8}{{a}^{2}}$≥2'
∴0＜a≤2．

点评 考查了对式子的配凑变形，均值定理的应用，思路不太好想，有一定难度．