Question

17．蚌埠地区有三大的旅游景点---荆涂山、龙子湖、锥子山．一位客人游览这三个景点的概率分别为0.6，0.5，0.4，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开蚌埠时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．
（1）求ξ的分布列及数学期望；
（2）记“函数f（x）=x²-3ξ•x+1在区间（-∞，2]上单调递减”为事件A，求事件A的概率．

Answer 1

分析 （1）ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，根据客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3．和客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，写出变量的可能取值，根据相互独立事件同时发生的概率写出分布列和期望．
（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率，函数f（x）=x²-3ξx+1在区间[2，+∞）上单调递增，根据二次函数的性质，写出函数递增的变量的值，知道只有当变量对应1是成立，得到结果．

解答 解：（1）客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3，相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0
所以ξ的可能取值为1，3…（1分）
且P（ξ=3）=0.4×0.5×0.6+0.6×0.5×0.4=0.24；P（ξ=1）=1-0.24=0.76
所以ξ的分布列为

ξ	1	3
P	0.76	0.24

…（4分）
数学期望Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48…（6分）
（2）∵$f（x）={（x-\frac{3}{2}ξ）^2}+1-\frac{9}{4}{ξ^2}$，
∴函数f（x）=x²-3ξx+1在区间$（-∞，\frac{3}{2}ξ]$上单调递减．
要使f（x）在（-∞，2]上单调递减，当且仅当$\frac{3}{2}ξ≥2$，
∴$ξ≥\frac{4}{3}$，∴$P（A）=P（ξ≥\frac{4}{3}）=P（ξ=3）=0.24$…（12分）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查二次函数的性质，是一个综合题目．