Question

已知函数：f（x）=alnx-ax-3（a∈R）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，若函数g(x)=x3+x2[f′(x)+

m

2

]在区间（t，3）上有最值，求实数m的取值范围；
（3）求证：ln（2²+1）+ln（3²+1）+ln（4²+1）+…+ln（n²+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N^*）

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．
（2））处的切线的倾斜角为45°，得到f′（2）=1求出a的值代入到 g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]中化简，求出导函数，因为函数在（2，3）上总存在极值得到

g′(2)＜0 g′(3)＞0

解出m的范围记即可；（3）是近年来高考考查的热点问题，即与函数结合证明不等式问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量n有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解．

解答：解：（1）f′(x)=

a

x

-a(x＞0)，
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a=0时，f（x）不是单调函数
（2）因为函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，
所以f′（2）=1，所以a=-2，f′(x)=

-2

x

+2，
g(x)=x3+x2[

m

2

+2-

2

x

]=x3+(

m

2

+2)x2-2x，g′（x）=3x²+（4+m）x-2
因为对于任意的t∈[1，2]，函数 g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]在区间（t，3）上
总存在极值，所以只需

g′(2)＜0 g′(3)＞0

，解得 -

37

3

＜m＜-9
（3）令a=-1（或a=1）
此时f（x）=-lnx+x-3，
所以f（1）=-2，
由（1）知f（x）=-lnx+x-3，在[1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即-lnx+x-1＞0，
∴lnx＜x-1对一切x∈（1，+∞）成立，
∵n≥2，n∈N^*，
则有ln(

1

n2

+1)＜

1

n2

＜

1

(n-1)n

=

1

n-1

-

1

n

，
∴要证ln（2²+1）+ln（3²+1）+ln（4²+1）+…+ln（n²+1）＜1+2lnn!
即要证ln(

1

22

+1)+ln(

1

32

+1)+ln(

1

42

+1)+…+ln(

1

n2

+1)＜1，
而ln(

1

22

+1)+ln(

1

32

+1)+ln(

1

42

+1)+…+ln(

1

n2

+1)
＜1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

＜1．

点评：此题是个难题．本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，已知函数曲线上一点求曲线的切线方程即对函数导数的几何意义的考查，考查求导公式的掌握情况．含参数的数学问题的处理，构造函数求解证明不等式问题．以及考查学生创造性的分析解决问题的能力．