Question

数列{a_n}满足S_n＝2n－a_n(n∈N^*)．

(1)计算a₁，a₂，a₃，a₄，并由此猜想通项公式a_n；

(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．

Answer 1

 解：(1)a₁＝1，a₂＝，a₃＝，a₄＝，

由此猜想a_n＝(n∈N^*)．

(2)证明：当n＝1时，a₁＝1，结论成立．

假设n＝k(k≥1，且k∈N^*)时，结论成立，

即a_k＝，

那么n＝k＋1(k≥1，且k∈N^*)时，

a_k＋1＝S_k＋1－S_k＝2(k＋1)－a_k＋1－2k＋a_k

＝2＋a_k－a_k＋1.

∴2a_k＋1＝2＋a_k，

∴a_k＋1＝＝＝，

这表明n＝k＋1时，结论成立．

∴a_n＝(n∈N^*)．