Question

已知函数f(x)=

1-x

ax

+lnx，
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为递增函数，求正实数a的取值范围；
（2）当a=1时，求函数f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值；
（3）试比较

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

与

(n-1)(2n+1)

2(n+1)

的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）求导函数，确定函数的单调区间，利用函数f（x）在[1，+∞）上为递增函数，可得[1，+∞）是单调增区间的子集，由此可确定正实数a的取值范围；
（2）确定函数在[

1

2

，2]上的单调性，进而可求函数f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值；
（3）令a=1，由（1）得f(x)=

1

x

+1+lnx≥2⇒

1

x

-1-ln

1

x

≥0⇒lnt≤t-1（当且仅当t=1时等号成立），
两边同除t（t＞0）得

lnt

t

≤1-

1

t

，再令t=n²，进而利用累加法，即可得到结论．

解答：解：（1）由f′(x)=

ax-1

ax2

≥0(a＞0)，可得x≥

1

a

，∴函数f（x）在[

1

a

，+∞)递增，
∵函数f（x）在[1，+∞）上为递增函数
∴[1，+∞）是[

1

a

，+∞)的子集，
∴

1

a

≤ 1
∵a＞0，∴a≥1．
（2）当a=1，由（1）的函数f（x）在[

1

2

，1]上递减，在[1，2]上递增．
则y_min=f（1）=2； 
又因为f(

1

2

)=3-ln2，f(2)=ln2+

3

2

，
∴f(

1

2

)＞f(2)
∴ymax=f(

1

2

)=3-ln2．
（3）令a=1，
由（1）得f(x)=

1

x

+1+lnx≥2⇒

1

x

-1-ln

1

x

≥0⇒lnt≤t-1（当且仅当t=1时等号成立），
两边同除t（t＞0）得

lnt

t

≤1-

1

t

，
令t=n²，
可得

lnn2

n2

≤1-

1

n2

＜1-

1

n(n+1)

=1-(

1

n

-

1

n+1

)
由累加法得

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜(n-1)-[

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

]=

(n-1)(2n+1)

2(n+1)

点评：本题重点考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查大小比较，解题的关键是正确求出导函数，合理构建不等式，属于中档题．