Question

已知各项均为非负整数的数列 ，满足，．若存在最小的正整数，使得，则可定义变换，变换将数列变为数列．设，．
（Ⅰ）若数列，试写出数列；若数列，试写出数列；
（Ⅱ）证明存在唯一的数列，经过有限次变换，可将数列变为数列；
（Ⅲ）若数列，经过有限次变换，可变为数列．设，，求证，其中表示不超过的最大整数．

Answer 1

解：（Ⅰ）若，则；； ；
； ．
若，则 ； ； ； ．                                                ………4分
（Ⅱ）先证存在性，若数列满足及，则定义变换，变换将数列变为数列：．
易知和是互逆变换．                                        ………5分
对于数列连续实施变换（一直不能再作变换为止）得
 ，
则必有（若，则还可作变换）．反过来对作有限次变换，即可还原为数列，因此存在数列满足条件．
下用数学归纳法证唯一性：当是显然的，假设唯一性对成立，考虑的情形．
假设存在两个数列及均可经过有限次变换，变为，这里，
若，则由变换的定义，不能变为；
若，则，经过一次变换，有
由于，可知（至少3个1）不可能变为．
所以，同理令，
，
则，所以，．
因为，
，
故由归纳假设，有，．
再由与互逆，有
，
，
所以，，从而唯一性得证．                  ………9分
（Ⅲ）显然，这是由于若对某个，，则由变换的定义可知， 通过变换，不能变为．由变换的定义可知数列每经过一次变换，的值或者不变，或者减少，由于数列经有限次变换，变为数列时，有，，
所以为整数，于是，，
所以为除以后所得的余数，即．………13分

略