Question

已知函数f（x）=x²+t的图象与函数g（x）=ln|x|的图象有四个交点，则实数t的取值范围为

（-∞，-

1

2

-

1

2

ln2）

．

Answer 1

分析：利用导数求出求出这两个函数的图象在（0，+∞）上相切时切点的横坐标，再由题意可得f（

2

2

）＜g（

2

2

），由此求得实数m的取值范围．

解答：解：由于函数f（x）和函数g（x）都是偶函数，图象关于y轴对称，故当这两个函数在（0，+∞）上有2个交点时，函数f（x）=x²+t的图象与函数g（x）=ln|x|的图象有四个交点．
当x＞0时，令 h（x）=f（x）-g（x）=x²+t-lnx，则 h′（x）=2x-

1

x

．
令h′（x）=0可得x=

2

2

，故这两个函数的图象在（0，+∞）上相切时切点的横坐标为x=

2

2

．
当x=

2

2

时，f（x）=

1

2

+t，g（x）=ln

2

2

=-

1

2

ln2，
函数f（x）=x²+t的图象与函数g（x）=ln|x|的图象有四个交点，应有

1

2

+t＜-

1

2

ln2，
由此可得 t＜-

1

2

-

1

2

ln2，故实数m的取值范围为 （-∞，-

1

2

-

1

2

ln2），
故答案为 （-∞，-

1

2

-

1

2

ln2）．

点评：本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，求出这两个函数的图象在（0，+∞）上相切时切点的横坐标为x=

2

2

，是解题的关键，属于中档题．