题目内容
已知椭圆
：
的离心率为
，直线
:
与以原点为圆心、以椭圆
的短半轴长为半径的圆相切.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左焦点为
，右焦点
，直线
过点且垂直于椭圆的长轴，动直线
垂直于点
，
线段
垂直平分线交于点
，求点的轨迹
的方程；
（Ⅲ）设与
轴交于点
，不同的两点
在上，且满足
，求
的取值范围.
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
解析试题分析：（Ⅰ）利用离心率和直线与圆相切得到两个等量关系，确定椭圆方程；（Ⅱ）利用定义法求解曲线方程；（Ⅲ）采用坐标法，将向量问题坐标化，进行有效的整理为
，然后借助均值不等式进行求解范围.
试题解析：（Ⅰ）∵
∵直线
相切，
∴
∴
3分
∵椭圆的方程是 6分
（Ⅱ）∵
，
∴动点到定直线：
的距离等于它到定点
的距离，
∴动点的轨迹是
为准线，为焦点的抛物线 6分
∴点的轨迹的方程为 9分
（Ⅲ）
，设
、
∴
∵
，∴
∵
，化简得 11分
∴
当且仅当
即
时等号成立 13分
∵
，又
∴当
即
时，
，故
的取值范围是 14分
考点：1.椭圆方程；2.抛物线的定义；3.坐标法的应用.
练习册系列答案
教材全解字词句篇系列答案
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经过点
，且双曲线
的渐近线与圆
相切.
是双曲线
是双曲线
为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆的位置关系，并说明理由.
、
分别是椭圆
: 
的左、右焦点，点
在直线
上，线段
的垂直平分线经过点
．直线
与椭圆
、
，且椭圆
，使
，其中
是坐标原点，
是实数．
的面积最大？最大面积等于多少？
,
为其右焦点，离心率为
.
，问是否存在直线
，使
与椭圆
交于
两点，且
．若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由．
：
，称圆心在原点
，半径为
的圆是椭圆
，且其短轴上的一个端点到
的距离为
.
是椭圆
，使得
的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为
的菱形的四个顶点.
的方程；
与椭圆
，
两点，且线段
的垂直平分线经过点
，求
（
为原点）面积的最大值.
的右焦点为 
，
为椭圆的上顶点，
为坐标原点，且两焦点和短轴的两端构成边长为
的正方形.
交与椭圆于
， 
，且使
为
的垂心，若存在，求出
的离心率为
，且过点
.
的直线
与椭圆相交于不同的两点
，试问在
轴上是否存在点
，使
是与
无关的常数？若存在，求出点
中，
为坐标原点，点
的坐标为
，点
的坐标为
，分别将线段
和
十等分，分点分别记为
和
，连接
，过
作
轴的垂线与
。
的方程；
与抛物线E交于不同的两点
, 若
与
的面积之比为4:1，求直线