题目内容
给定椭圆
：
，称圆心在原点
，半径为
的圆是椭圆的“准圆”．若椭圆的一个焦点为
，且其短轴上的一个端点到
的距离为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程和其“准圆”方程；
(Ⅱ)点
是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线
，使得与椭圆都只有一个交点，试判断是否垂直，并说明理由．
(Ⅰ)
，
；(Ⅱ)垂直.
解析试题分析：(Ⅰ)利用焦点坐标求出
，利用短轴上的一个端点到的距离为，求出
，解出
，
，写出椭圆方程，通过得到的，求出准圆的半径，直接写出准圆方程；(Ⅱ)分情况讨论：①当中有一条直线的斜率不存在时，②当的斜率都存在时.
试题解析：(Ⅰ)由题意可知，，则，，
所以椭圆方程为. 2分
易知准圆半径为
，
则准圆方程为. 4分
(Ⅱ)①当中有一条直线的斜率不存在时，
不妨设
的斜率不存在，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为
，
当的方程为
时，此时与准圆交于点
，
，
此时经过点或且与椭圆只有一个公共点的直线是
或
，
即
为或，显然直线垂直； 6分
同理可证直线的方程为
时，直线也垂直． 7分
②当的斜率都存在时，设点
，其中
.
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为
，
由
消去
，得
.
由
化简整理得，
. 因为，
所以有
. 10分
设直线的斜率分别为
，因为与椭圆只有一个公共点，
所以满足方程，
所以
，即垂直． 12分
综合①②知，垂直． 13分
考点：1.椭圆方程；2.分类讨论思想解题.
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＋
＝1（a＞b＞0）的离心率为
，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为
．
＝
＋
成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．
，求证：O、
上，A，C关于
轴对称，BD平行于抛物线在点C处的切线。
；
，四边形ABCD的面积为4，求直线BD的方程。
且与直线
相切的动圆的圆心轨迹为
．点
、
在轨迹
轴对称，过线段
（两端点除外）上的任意一点作直线
，使直线
、
．
；
的距离等于
，且△
的面积为20，求直线
的方程．
：
的离心率为
，直线
:
与以原点为圆心、以椭圆
的短半轴长为半径的圆相切.
，右焦点
，直线
过点
垂直
，
垂直平分线交
，求点
的方程；
轴交于点
，不同的两点
在
，求
的取值范围.
的左顶点为
，
是椭圆
上异于点
与点
，求
的值；
，求
的圆心为
，动圆
过点
，且和圆
．
为曲线
与曲线
右焦点的直线
交
于A,B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为
.