Question

已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为的菱形的四个顶点.
（I）求椭圆的方程；
（II）直线与椭圆交于，两点，且线段的垂直平分线经过点，求（为原点）面积的最大值.

Answer 1

(I)  ； (II)  ．

解析试题分析：(I)由图形的对称性及椭圆的几何性质，易得 ，进而写出方程； (II) ΔAOB的面积可以用 ，所以本题需要用弦长公式表示AB的长度，用点到之间的距离公式表示坐标原点O到直线的距离，而这些都需要有直线的方程作为前提条件。所以本题应先考虑设出直线AB的方程．此外，设方程的过程中，注意对于特殊情形的讨论．
试题解析：
(I)因为椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，
一内角为的菱形的四个顶点,
所以,椭圆的方程为                                     4分
(II)设因为的垂直平分线通过点， 显然直线有斜率，
当直线的斜率为时,则的垂直平分线为轴,则
所以
因为，
所以，当且仅当时，取得最大值为       7分
当直线的斜率不为时,则设的方程为
所以，代入得到
当,            即                         
方程有两个不同的解
又，                                       8分
所以，
又，化简得到                     
代入，得到                                                    10分
又原点到直线的距离为

所以
化简得到                                             12分        
因为，所以当时，即时，取得最大值
综上，面积的最大值为．
考点：直线与圆锥曲线的位置关系．