Question

已知一焦点在x轴上，中心在原点的双曲线的实轴等于虚轴，且图象经过点

2， 3

．
（1）求该双曲线的方程；
（2）若直线y=kx+1与该双曲线只有一个公共点，求实数k的值．

Answer 1

分析：（1）由题意知该双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为

x2

a 2

-

y2

a 2

=1

a＞0

，把点（2，

3

）代入方程解出即可；
（2）直线y=kx+1与该双曲线只有一个公共点，等价于直线与双曲线的方程构成的方程组只有一解，消去y后得到关于x的方程，然后分类讨论即可；

解答：解：（1）∵a=b，∴所求圆锥曲线为等轴双曲线．
∴设双曲线方程为

x2

a 2

-

y2

a 2

=1

a＞0

，
∵图象经过点

2， 3

，∴

22

a 2

-

3 2

a 2

=1，解得a=1，
∴所求双曲线方程为x²-y²=1；
（2）由

y=kx+1 x2-y2=1

⇒(k2-1)x2+2kx+2=0，

(1)当k2=1时，k=±1，直线与双曲线的渐近线平行， ∴直线与双曲线有一个交点．

(2)当k2≠1时，△=4k2-8(k2-1)=0 ⇒k2=2⇒k=± 2 ，

，
∴k=-1、1、

2

、-

2

，直线与双曲线有一个公共点．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及双曲线方程的求解，考查分类讨论思想、数形结合思想，属中档题．