Question

【题目】如图1，梯形中，，，，，为中点.将沿翻折到的位置， 使如图2.

（1）求证：平面 平面；

（2）求与平面所成角的正弦值；

（3）设、分别为和的中点，试比较三棱锥和三棱锥（图中未画出）的体积大小，并说明理由.

图1 图2

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析

【解析】

(1)先证明平面，再证明平面 平面.(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求得与平面所成角的正弦值为.(3) 先证明点、到平面的距离相等，即三棱锥和同底等高，所以体积相等.

（1）证明：由图1，梯形中，，，，，为中点，

故图2，，

因为，，平面，所以平面

因为平面，所以平面 平面

（2）取中点，连接，.

因为在中，，为中点，所以

因为平面 平面，平面 平面

平面，所以平面

因为在正方形中，、分别为、的中点，

所以

建系如图. 则，，，，.

，，，

设平面的法向量为，则

，即，令得，，

所以是平面的一个方向量.

所以与平面所成角的正弦值为.

（3）三棱锥和三棱锥的体积相等.

理由如下:由，，知，则

因为平面，所以平面.

故点、到平面的距离相等，有三棱锥和同底等高，所以体积相等.