Question

在△ABC中，a2+b2-ab=c2=2

3

S△ABC，则△ABC一定是（　　）

Answer 1

分析：结合已知利用余弦定理可得cosC=

a2+b2-c2

2ab

可求C，然后由c2=2

3

S△ABC，结合三角形的面积公式及正弦定理可得sin²C=sinAsinB×

3

2

，利用两角差的 正弦公式及辅助角公式可求A，进而可判断三角形的形状

解答：解：∵a2+b2-ab=c2=2

3

S△ABC
由余弦定理可得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

ab

2ab

=

1

2

∵0＜C＜π
∴C=

1

3

π
∵c2=2

3

S△ABC=

1

2

absinC×2

3

=

1

2

ab×

3

2

×2

3

=

3 ab

4

×2

3

=

3ab

2

由正弦定理可得，sin²C=sinAsinB×

3

2

即

1

4

=sinAsin(

2π

3

-A)×

3

2

展开整理可得，

3

2

sin2A-

1

2

cos2A=

1

2

∴sin（2A-

π

6

）=

1

2

∴2A-

π

6

=

π

6

或

5π

6

∴

A= π 6 C= 1 3 π B= 1 2 π

或

A= 1 2 π C= 1 3 π B= 1 6 π

综上可得△ABC为直角三角形
故选B

点评：本题综合考查了正弦定理，余弦定理、三角形的面积公式及辅助角公式、二倍角公式，特殊角的三角函数值的应用，解题的关键是熟练应用基本公式