Question

在三角形ABC中，2sin2C•cosC-sin3C=

3

（1-cosC）．
（1）求角C的大小；
（2）若AB=2，且sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用2sin2C•cosC-sin3C=

3

（1-cosC），以及三角形的内角和，两角和与差的三角函数．推出C的三角函数值，即可求角C的大小；
（2）通过AB=2，利用sinC+sin（B-A）=2sin2A，求出B的大小，然后求出三角形的边长，然后求△ABC的面积．

解答：解：∵2sin2C•cosC-sin3C=

3

（1-cosC）．
∴2sin2C•cosC-sin（2C+C）
=2sin2C•cosC-sin2CcosC-cos2CsinC
=sin2CcosC-cos2CsinC
=sinC
=

3

（1-cosC）．
∴sinC=

3

-

3

cosC．
∴sin（C+

π

3

）=

3

2

．
∵C是三角形的内角，∴C+

π

3

=

2π

3

，
∴C=

π

3

．
（2）由sinC+sin（B-A）=2sin2A可得sin（A+B）+sin（B-A）=2sin2A，
可得sinBcosA=2sinAcosA，sinB=2sinA或cosA=0，
当cosA=0，∴A=

π

2

，b=

2

3

∴S△ABC=

1

2

AB•AC=

1

2

×2×

2

3

=

2 3

3

．
当sinB=2sinA，由正弦定理可知，b=2a，由余弦定理可知：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
∴a=

2

3

，
S△ABC=

1

2

absinC=

2 3

3

．

点评：本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理的应用余弦定理的应用，考查解三角形的知识，考查计算能力．