题目内容

11、一动圆与两圆x²+y²=1和x²+y²-8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（　　）

A、圆

B、椭圆

C、双曲线的一支

D、抛物线

分析：设动圆P的半径为r，然后根据⊙P与⊙O：x²+y²=1，⊙F：x²+y²-8x+12=0都外切得|PF|=2+r、|PO|=1+r，再两式相减消去参数r，则满足双曲线的定义，问题解决．

解答：解：设动圆的圆心为P，半径为r，
而圆x²+y²=1的圆心为O（0，0），半径为1；
圆x²+y²-8x+12=0的圆心为F（4，0），半径为2．
依题意得|PF|=2+r|，|PO|=1+r，
则|PF|-|PO|=（2+r）-（1+r）=1＜|FO|，
所以点P的轨迹是双曲线的一支．
故选C．

点评：本题主要考查双曲线的定义．

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下列四个命题中，真命题的序号有

（写出所有真命题的序号）．
①两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线．
②圆x²+y²+4x+2y+1=0与直线y=

x相交，所得弦长为2．
③若sin（α+β）=

，sin（α-β）=

，则tanαcotβ=5．
④如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，P为底面ABCD内一动点，P到平面AA₁D₁D的距离与到直线CC₁的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分．

附加题：如图，过椭圆C：

=1（a＞b＞0）上一动点P引圆x²+y²=b²的两条切线PA，PB（A，B为切点）．直线AB与x轴、y轴分别交于M、N两点．
①已知P点的坐标为（x₀，y₀），并且x₀•y₀≠0，试求直线AB的方程；
②若椭圆的短轴长为8，并且

，求椭圆C的方程；
③椭圆C上是否存在P，由P向圆O所引两条切线互相垂直？若存在，求出存在的条件；若不存在，说明理由．

（理科）一动圆过定点P（0，1），且与定直线l：y=-1相切．
（1）求动圆圆心C的轨迹方程；
（2）若（1）中的轨迹上两动点记为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁x₂=-16．
①求证：直线AB过一定点，并求该定点坐标；
②求

的取值范围．

下列四个命题中，真命题的序号有（写出所有真命题的序号）．
①两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线.
②圆x2+y2+4x+2y+1=0与直线y=相交，所得弦长为2.
③若sin（+）= ,sin（－）=,则tancot=5.
④如图，已知正方体ABCD- A1B1C1D1，P为底面ABCD内一动点，
P到平面AA1D1D的距离与到直线CC1的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分．

附加题：如图，过椭圆C： $数学公式$ （a＞b＞0）上一动点P引圆x²+y²=b²的两条切线PA，PB（A，B为切点）．直线AB与x轴、y轴分别交于M、N两点．
①已知P点的坐标为（x₀，y₀），并且x₀•y₀≠0，试求直线AB的方程；　　
②若椭圆的短轴长为8，并且 $数学公式$ ，求椭圆C的方程；
③椭圆C上是否存在P，由P向圆O所引两条切线互相垂直？若存在，求出存在的条件；若不存在，说明理由．