Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC，∠ABC＝120°，E为线段AB的中线，将△ADE沿直线DE翻折成△DE，使平面DE⊥平面BCD，F为线段C的中点．

(Ⅰ)求证：BF∥平面DE；

(Ⅱ)设M为线段DE的中点，求直线FM与平面DE所成角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证明：取AD的中点G，连结GF，CE，由条件易知 　　FG∥CD，FG＝CD． 　　BE∥CD，BE＝CD． 　　所以FG∥BE，FG＝BE． 　　故四边形BEGF为平行四边形，所以BF∥平面DE． 　　(Ⅱ)解：在平行四边形ABCD中，设BC＝a， 　　则AB－CD＝2A，AD＝AE＝EB＝a， 　　连CE． 　　因为∠ABC＝120°， 　　在△BCE中，可得CE＝a， 　　在△ADE中，可得DE＝a， 　　在△CDE中，因为CD2＝CE2＋DE2，所以CE⊥DE， 　　在正三角形ADE中，M为DE中点，所以M⊥DE． 　　由平面ADE平面BCD， 　　可知AM⊥平面BCD，M⊥CE． 　　取E的中点N，连线NM、NF， 　　所以NF⊥DE，NF⊥M． 　　因为DE交M于M， 　　所以NF．平面DE， 　　则∠FMN为直线FM与平面DE新成角． 　　在Rt△FMN中，NF＝a，MN＝a，FM＝a， 　　则cos＝． 　　所以直线FM与平面DE所成角的余弦值为．