Question

已知圆C：(x－4)²＋y²＝4，圆D的圆心D在y轴上，且与圆C外切，圆D交y轴于A、B两点(A在B的上方)，点P为(－3，0)．

(1)若D(0，3)，求∠APB的正切值；

(2)若D在y轴上运动，当D在何位置时，tan∠APB最大？并求出最大值；

(3)在x轴上是否存在点Q，使当D在y轴上运动时，∠AQB为定值？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由圆C：，知C(4，0)，圆C的半径为2　　1分 　　又圆C与圆D外切，D(0，3)， 　　∴，圆D的半径R＝5－2＝3　　3分 　　而圆D截轴于(0，6)、(0，0)两点，不妨设A(0，6)，B(0，0) 　　∴∠APB＝　　4分 　　(2)当D在轴上运动时，令D(0，)，， 　　圆D的半径R＝－2，A(0，＋R)，B(0，－R)　　5分 　　∠APB＝∠APC－∠BPC， 　　∴∠APB＝　　7分 　　＝＝＝　　8分 　　≤＝　　9分 　　当D为(0，0)时，∠APB最大，最大值为　　10分 　　(3)设Q(，0)，同(2)中求∠APB的方法一样可得 　　∠AQB＝为常数 　　　　11分 　　即或或　　12分 　　但当时，若A、B分别在轴两旁时，∠AQB＝1800， 　　若A、B都在轴同旁时，∠AQB＝00，故不合题意，舍去． 　　所以，存在满足题意的点Q，为(，0)或(－，0)　　14分