Question

设是各项均不为零的（）项等差数列，且公差.

（1）若,且该数列前项和最大，求的值；

（2）若,且将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，求的值；

（3）若该数列中有一项是，则数列中是否存在不同三项（按原来的顺序）为等比数列？请说明理由.

 

Answer 1

（1）取最大时的值为30或31；（2）的值为或10

【解析】

试题分析：（1）由等差数列前n项和的二次函数性质求解

（2）分类讨论思想，依次分删去第一项、第二项、第三项、第四项后成等比数列求解；

（3）考虑反证法

试题解析：（1）解法一：由已知得

∴

∵∴取最大时的值为30或31.

解法二：由已知得∴.

若取最大，则只需即解得.

∵∴当取最大时的值分别是30或31.

（2）当时，该数列的前4项可设为10、、、.

若删去第一项10，则由题意得，解得，不符合题意.

若删去第二项，则由题意得解得，符合题意.

若删去第三项，则由题意得解得，符合题意.

若删去第四项，则由题意得解得，不符合题意.

综上所述，的值为或10.

（3）设

设该数列存在不同的三项成等比数列，则

，化简得

又

将代入得这与题设矛盾

故该数列不存在不同三项（按原来的顺序）为等比数列.

考点：等差数列的定义及性质，等比数列的定义及性质