题目内容

如图，某小区准备绿化一块直径为AB的半圆形空地，点C在半圆弧上，半圆内△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS内部为一水池，其余地方种花，若AB=2a，∠CAB=θ，设△ABC的面积为S1，正方形PQRS的边长为x，面积为S2，将比值
S1
S2
称为“规划合理度”．
（1）求证：x=
2asin2θ
2+sin2θ
．
（2）当a为定值，θ变化是，求“规划合理度”的最小值及此时角θ的大小．
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（1）在△ABC中，AB=2a，∠CAB=θ
所以AC=2acosθ，BC=2asinθ
因为正方形PQRS的边长为x
所以AC=
x
sinθ
+xcosθ，2acosθ=
x
sinθ
+xcosθ，
∴x=
2asin2θ
2+sin2θ

（2）因为△ABC中，AC=2acosθ，BC=2asinθ
所以s1=4a2sinθcosθ=2a2sin2θ
因x=
2asin2θ
2+sin2θ

所以s2=
4a2(sin2θ)2
(2+sin2θ)2

因此“规划合理度”
s1
s2
 =
(2+sin2θ)2
2sin2θ
，θ∈(0，
π
2
)
s1
s2
=
(2+sin2θ)2
2sin2θ
=
1
2
(
4
sin2θ
+sin2θ+4)≥
9
2

当且仅当sin2θ=1即θ=
π
4
时取得最小值
9
2
练习册系列答案
相关题目
精英家教网如图，某小区准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余地方种花．若BC=20米，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2，将比值
S1S2
称为“规划合理度”．
（1）试用θ表示S1和S2．
（2）当θ变化时，求“规划合理度”取得最小值时的角θ的大小．
精英家教网如图，某小区准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，△ABC外的地方种草，其余地方种花．若BC=a，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2，将比值
S1S2
称为“规划合理度”．
（1）试用a，θ表示S1和S2；
（2）若a为定值，当θ为何值时，“规划合理度”最小？并求出这个最小值．
精英家教网如图，某小区准备绿化一块直径为AB的半圆形空地，点C在半圆弧上，半圆内△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS内部为一水池，其余地方种花，若AB=2a，∠CAB=θ，设△ABC的面积为S1，正方形PQRS的边长为x，面积为S2，将比值
S1
S2
称为“规划合理度”．
（1）求证：x=
2asin2θ
2+sin2θ
．
（2）当a为定值，θ变化是，求“规划合理度”的最小值及此时角θ的大小．
如图，某小区准备绿化一块直径为AB的半圆形空地，O为圆心，C为圆周上一点，CD⊥AB于D，△ACD内为一水池，△ACD外栽种花草，若AB=100米，∠CAB=θ，y=AC+CD．
（1）试用θ表示y；
（2）求y的最大值．
（2007•杨浦区二模）如图，某小区准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余地方种花．若BC=a，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2，将比值
S1S2
称为“规划合理度”．
（1）试用a，θ表示S1和S2．
（2）（理）当a为定值，θ变化时，求“规划合理度”取得最小值时的角θ的大小．
（3）（文）当a为定值，θ=150时，求“规划合理度”的值．

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