题目内容

在数列{an}中，a1=1，3anan-1+an-an-1=0（n≥2）
（Ⅰ）证明：{
1
an
}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项；
（Ⅲ）若λan+
1
an+1
≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．
（Ⅰ）将3anan-1+an-an-1=0（n≥2）整理得：
1
an
-
1
an-1
=3(n≥2)，
所以{
1
an
}是以1为首项，3为公差的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：
1
an
=1+3(n-1)=3n-2，所以an=
1
3n-2
．
（Ⅲ）若λan+
1
an+1
≥λ恒成立，即
λ
3n-2
+3n+1≥λ恒成立，整理得：λ≤
(3n+1)(3n-2)
3(n-1)
．   
令cn=
(3n+1)(3n-2)
3(n-1)
，
则可得 cn+1-cn=
(3n+4)(3n+1)
3n
-
(3n+1)(3n-2)
3(n-1)
=
(3n+1)(3n-4)
3n(n-1)
．
因为n≥2，所以
(3n+1)(3n-4)
3n(n-1)
＞0，即{cn}为单调递增数列，所以c2最小，c2=
28
3
，
所以λ的取值范围为(-∞，
28
3
]．
练习册系列答案
相关题目
在数列{an}中，
a
 
1
=1，an=
1
2
an-1+1（n≥2），则数列{an}的通项公式为an=
2-21-n
2-21-n
．
在数列{an}中，a 1=
1
3
，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
1
an
（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{
an
n
}的前n项和为Tn，证明：
1
3
≤Tn＜
3
4
．
在数列{an}中，a=
12
，前n项和Sn=n2an，求an+1．
在数列{an}中,a1=a,前n项和Sn构成公比为q的等比数列,________________.

(先在横线上填上一个结论,然后再解答)

在数列{an}中，a，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}的前n项和为Tn，证明：．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网