题目内容

在△ABC中，A、B、C为其内角，且tanA与tanB是方程6x²-5x+1=0的两个根．
（I）求tan（A+B）的值；
（II）求函数 $数学公式$ 在x∈[0，π]时的最大值及取得最大值时x的取值．

解：（Ⅰ）由韦达定理得：tanA+tanB= $\text{[math]}$ ，tanA•tanB= $\text{[math]}$ ，
∴tan（A+B）= $\text{[math]}$ =1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A+B= $\text{[math]}$ ，又A+B+C=π，
∴C= $\text{[math]}$ ．
∴f（x）=sin（x+ $\text{[math]}$ ）-2 $\text{[math]}$ +2
=sin（x+ $\text{[math]}$ ）-[1+cos（x+ $\text{[math]}$ ）]+2
= $\text{[math]}$ sin（x+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+1
= $\text{[math]}$ sin（x+ $\text{[math]}$ ）+1．
∵0≤x≤π，故 $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴当x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即x= $\text{[math]}$ 时，f（x）的最大值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）由韦达定理可得tanA+tanB= $\text{[math]}$ ，tanA•tanB= $\text{[math]}$ ，从而可求得tan（A+B）的值；
（Ⅱ）由二倍角的余弦与辅助角公式可将f（x）=sin（x+ $\text{[math]}$ ）-2 $\text{[math]}$ +2化为：f（x）= $\text{[math]}$ sin（x+ $\text{[math]}$ ）+1，又0≤x≤π，即可求得其最大值及取得最大值时x的取值．
点评：本题考查正弦函数的定义域和值域，着重考查降幂公式与辅助角公式及正弦函数的性质，属于中档题．