题目内容
给出下列五个命题：
①命题“任意x∈R，x2≥0”的否定是“存在x∈R，x2≤0”；
②若等差数列{an}前n项和为Sn，则三点（10，
），（100，
），（110，
）共线；
③若函数f（x）=x2+（a+2）x+b，x∈[a，b]的图象关于直线x=1对称，则f（x）的最大值为30；
④在△ABC中，若cos（2B+C）+2sinAsinB=0，则△ABC一定是等腰三角形；
⑤函数||x-1|-|x+1||≤a恒成立，则实数a的取值范围是[2，+∞）．
其中假命题的序号是
①命题“任意x∈R，x2≥0”的否定是“存在x∈R，x2≤0”；
②若等差数列{an}前n项和为Sn，则三点（10，
| S10 |
| 10 |
| S100 |
| 100 |
| S110 |
| 110 |
③若函数f（x）=x2+（a+2）x+b，x∈[a，b]的图象关于直线x=1对称，则f（x）的最大值为30；
④在△ABC中，若cos（2B+C）+2sinAsinB=0，则△ABC一定是等腰三角形；
⑤函数||x-1|-|x+1||≤a恒成立，则实数a的取值范围是[2，+∞）．
其中假命题的序号是
①④
①④
．（填上所有假命题的序号）分析：①利用全称命题的否定是特称命题去判断．②利用三点共线的条件判断．③利用二次函数的图象和性质判断．④利用两角和差的三角公式进行化简．⑤利用绝对值的几何意义判断．
解答：解：①因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“任意x∈R，x2≥0”的否定是“存在x∈R，x2＜0”，所以①错误．
②在等差数列中，
=a1+
，所以
=a1+
d，
=a1+
d，
=a1+
d，所以对应三点A（10，
），B（100，
），C（110，
）的向量为
=(90，45d)，
=(10，5d)，所以
=9
，即
，
共线，所以A，B，C三点共线，所以②正确．
③因为函数的对称轴为x=1，所以-
=1，解得a=-4，此时b=6，所以f（x）=x2-2x+6=（x-1）2+5，所以当x=-4或x=6时，有最大值30，所以③正确．
④由cos（2B+C）+2sinAsinB=0得cos（B+π-A）+2sinAsinB=0，所以-cos（B-A）+2sinAsinB=0，即-cosAcosB+sinAsinB=0，所以cos（A+B）=0，即cosC=0，所以c=90°，故△ABC一定是直角三角形，所以④错误．
⑤因为||x-1|-|x+1||的最大值为2，所以要使函数||x-1|-|x+1||≤a恒成立，则a≥2，所以⑤正确．
故答案为：①④．
②在等差数列中，
| Sn |
| n |
| (n-1)d |
| 2 |
| S10 |
| 10 |
| 9 |
| 2 |
| S100 |
| 100 |
| 99 |
| 2 |
| S110 |
| 110 |
| 109 |
| 2 |
| S10 |
| 10 |
| S100 |
| 100 |
| S110 |
| 110 |
| AB |
| BC |
| AB |
| BC |
| AB |
| BC |
③因为函数的对称轴为x=1，所以-
| a+2 |
| 2 |
④由cos（2B+C）+2sinAsinB=0得cos（B+π-A）+2sinAsinB=0，所以-cos（B-A）+2sinAsinB=0，即-cosAcosB+sinAsinB=0，所以cos（A+B）=0，即cosC=0，所以c=90°，故△ABC一定是直角三角形，所以④错误．
⑤因为||x-1|-|x+1||的最大值为2，所以要使函数||x-1|-|x+1||≤a恒成立，则a≥2，所以⑤正确．
故答案为：①④．
点评：本题主要考查了命题的真假判断，综合性较强．
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