Question

给出下列五个命题：其中正确的命题有

②③④

（填序号）．
①函数y=sinx（x∈[-π，π]）的图象与x轴围成的图形的面积S=

∫

π -π

sinxdx；
②

C

r+1 n+1

=

C

r+1 n

+

C

r n

；
③在（a+b）ⁿ的展开式中，奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和；
④i+i²+i³+…i²⁰¹²=0；
⑤用数学归纳法证明不等式

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

＞

13

24

，(n≥2，n∈N*)的过程中，由假设n=k成立推到n=k+1成立时，只需证明

1

k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2(k+1)

＞

13

24

即可．

Answer 1

分析：①利用定积分的几何意义即可求出；
②由组合数的性质即可判断出；
③利用二项展开式的性质即可判断出；
④根据i的周期性或等比数列的前n项和公式即可得出；
⑤利用数学归纳法的要求即可判断出．

解答：解：①函数y=sinx（x∈[-π，π]）的图象与x轴围成的图形的面积=-

∫

0 -π

sinxdx+

∫

π 0

sinxdx=2×cosx

|

0 -π

=4，而面积S=

∫

π -π

sinxdx=0，因此不正确；
②由组合数的性质可知：在n∈N^*，r∈N的条件下所给的式子成立，因此正确；
③在（a+b）ⁿ的展开式中，分别令a=1，b=-1，则

C

0 n

+

C

2 n

+…=

C

1 n

+

C

3 n

+…，即奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，因此正确；
④根据i⁴ⁿ=1，i⁴ⁿ⁺¹=i，i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=-i，则i+i²+i³+…i²⁰¹²=

i(i2012-1)

i-1

=

i(1-1)

i-1

=0，因此正确；
⑤用数学归纳法证明不等式

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

＞

13

24

，(n≥2，n∈N*)的过程中，由假设n=k成立推到n=k+1成立，
只需证明

1

(k+1)+1

+

1

(k+1)+2

+…+

1

2(k+1)

＞

13

24

成立即可，因此⑤不正确．
综上可知：只有②③④正确．
故答案为②③④．

点评：熟练掌握微积分基本定理、组合数的性质、二项展开式的性质、i的周期性及等比数列的前n和公式、数学归纳法是解题的关键．