Question

设函数f（x）=log_ax（a为常数且a＞0，a≠1），已知数列f（x₁），f（x₂），…，f（x_n），…是公差为2的等差数列，且．
（Ⅰ）求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅱ）当时，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x₁），f（x₂），…，f（x_n），…是公差为2的等差数列，且，知f（x_n）=loga（a²）+2（n-1）=2n．由此能求出数列{x_n}的通项公式．
（2）由（1）和a=得，x₁+x₂+…+x_n=（）²+（）⁴+…+（）²ⁿ=．由此能够证明当时，．
解答：解：（1）∵f（x₁），f（x₂），…，f（x_n），…是公差为2的等差数列，
且，
∴f（x_n）=loga（a²）+2（n-1）=2n．
∵f（x_n）=loga（x_n）=2n，
∴x_n=a²ⁿ．
（2）由（1）和a=得，
x₁+x₂+…+x_n
=（）²+（）⁴+…+（）²ⁿ
=
=．
∵，
∴＜．
故当时，．
点评：本题考查数列与函数的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．