Question

15．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），在同一周期内，当x=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值3，当x=-$\frac{3π}{2}$时，f（x）取得最小值-3．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由最高点求出φ的值，可得函数的解析式．
（Ⅱ）利用正弦函数的减区间求得函数f（x）的单调递减区间．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），在同一周期内，
当x=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值3，当x=-$\frac{3π}{2}$时，f（x）取得最小值-3，故A=3，
$\frac{T}{2}=\frac{π}{ω}$=2π，∴ω=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=3sin（$\frac{1}{2}$x+φ），∴sin（$\frac{π}{4}$+φ）=1，∴φ=$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=3sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）．
（Ⅱ）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得 4kπ+$\frac{π}{2}$≤x≤4kπ+$\frac{5π}{2}$，
可得函数的减区间为[4kπ+$\frac{π}{2}$，4kπ+$\frac{5π}{2}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的减区间，属于基础题．