Question

设x，y，z∈R，2x+2y+z+8=0，则（x-1）²+（y+2）²+（z-3）²之最小值为

9

．

Answer 1

分析：利用柯西不等式即可得出．

解答：解：由柯西不等式可得：[（x-1）²+（y+2）²+（z-3）²]（2²+2²+1²）≥[2（x-1）+2（y+2）+1•（z-3）]²=（2x+2y+z-1）²=（-8-1）²，
化为（x-1）²+（y+2）²+（z-3）²≥9，当且仅当

x-1

2

=

y+2

2

=

z-3

1

，且2x+2y+z+8=0，即x=-1，y=-2，z=2时取等号．
故（x-1）²+（y+2）²+（z-3）²之最小值为8．
故答案为8．

点评：本题考查了柯西不等式的应用，属于基础题．