Question

设x、y、z∈R⁺且3^x=4^y=6^z
（1）求使2x=py的p的值 （2）求与（1）中所求P的差最小的整数
（3）求证：

1

z

-

1

x

=

1

2y

（4）比较3x、4y、6z的大小．

Answer 1

分析：（1）可令3^x=4^y=6^z=k，利用指对数互化，对数的运算性质解答．
（2）判断P的取值范围，找出与它最接近的2个整数，计算P与这2个整数的差．
（3）计算等式的左边和右边的值相等，等式得到证明．
（4）这3个数都是正数，比较它们的倒数的大小，从而得到这3个数大小关系．

解答：解：（1）令3^x=4^y=6^z=k，则 x=log₃^k，y=log₄^k，z=log₆^k，∵2x=py，
∴2log₃^k=plog₄^k，∴P=

2 log k 3

log k 4

=2

lg4

lg3

=2log₃⁴．
（2）∵2log₃⁴=log₃¹⁶，2＜log₃¹⁶＜3，即 2＜p＜3，
∵P-2=

log

16 9 3

，3-P=

log

27 16 3

，

16

9

＞

27

16

，∴P-2＞3-P，
与P的差最小的整数是3．
（3）∵

1

z

-

1

x

=log_k⁶-log_k³=log_k²，

1

2y

=

1

2

•log_k⁴=log_k²，
∴

1

z

-

1

x

=

1

2y

．
（4）3x=3log₃^k，4y=4log₄^k、6z=6log₆^k，又x、y、z∈R⁺，∴k＞1，
∵

1

3x

-  

1

4y

=

1

3

log

3 k

-

1

4

log

4 k

=

log

6 9 8 k

＞0，∴3x＜4y，
同理可求，

1

4y

- 

1

6z

=

log

6 4 3 k

＞0，∴4y＜6z，∴3x＜4y＜6z

点评：本题考查指数式与对数式得转化，对数运算性质的应用，体现转化的数学思想，属于基础题．