Question

已知函数f（x）=5sinxcosx-5

3

cos²x+

5

2

3

．（x∈R）
（1）求函数f（x）的单调减区间及其对称轴；
（2）若x∈[-π，π]，求f（x）的最小值及对应的x值．

Answer 1

分析：（1）函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦 函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调性及对称轴求出函数f（x）的减区间及对称轴即可；
（2）由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出f（x）的最小值，以及此时x的值即可．

解答：解：（1）f（x）=

5

2

sin2x-

5 3

2

（cos2x+1）+

5 3

2

=5sin（2x-

π

3

），
令2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，得到kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

，k∈Z，
即函数f（x）的减区间是[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z，
令2x-

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈Z，得到x=kπ+

5π

12

，k∈Z，
即对称轴为x=kπ+

5π

12

，k∈Z；
（2）∵x∈[-π，π]，
∴2x-

π

3

∈[-

7π

3

，

5π

3

]，
∴-1≤sin（2x-

π

3

）≤1，
∴f（x）_min=-5，此时2x-

π

3

=-

π

2

或

3π

2

，即x=-

π

12

或x=

11π

12

．

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．