题目内容

设a是实数，函数f（x）=2x2+（x-a）•|x-a|，求f（x）的最小值．
考点：函数最值的应用
专题：
分析：分x≥a和x＜a两种情况来讨论去绝对值，再对每一段分别求最小值，借助二次函数的对称轴及单调性．最后综合即可．
解答： 解：当x≥a时，f（x）=3x2-2ax+a2，∴f（x）min=
f(a)，a≥0
f(
a
3
)，a＜0
=
2a2，a≥0
2
3
a2，a＜0
，
如图所示：

当x≤a时，f（x）=x2+2ax-a2，
∴f（x）min=
f(-a)，a≥0
f(a)，a＜0
=
-2a2，a≥0
2a2，a＜0
．

综上所述：f（x）min=
-2a2，a≥0
2
3
a2，a＜0
．
点评：本题考查了分段函数的最值问题．分段函数的最值的求法是先对每一段分别求最值，最后综合最大的为整个函数的最大值，最小的为整个函数的最小值．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=
a
x
+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=1时，求函数f（x）+2x的极值；
（Ⅲ）若f（x）＜x2在x∈（1，+∞）时恒成立，求实数a的取值范围．
对于函数f（x）=a-
2
2x+1
（a∈R）
（1）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？
（2）证明函数f（x）的单调性．
已知函数f（x）=
a
x
+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下求函数f（x）+2x的极值；
（Ⅲ）若f（x）＜
1
2
x在x∈（1，+∞）时恒成立，求实数a的取值范围．
在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组
x-y-2≤0
x+2y-4≥0
2y-3≤0
给定．若M（x，y）为D上的动点，点N的坐标为（1，3），则z=
OM
•
ON
的最小值为
 
．
已知f（x）=alnx+
1
2
x2-x（a∈R）
（Ⅰ）若x=2是函数f（x）的一个极值点，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）对?x∈（e，+∞），f（x）-ax＞0恒成立，求a的取值范围．
已知函数f（x）的定义域为（-2，2），导函数为f′（x）=x2+cosx且f（0）=0，则满足f（1+x）+f（x2-x）＞0的实数x的集合是
 
．
cos（-
16
3
π）的值为
 
．
计算1.5 -
1
3
+80.25×
42
+（
32
×
3
）6-
(-
2
3
)
2
3
=
 
．

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