Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E在棱CD上．
（1）求证：EB₁⊥AD₁；
（2）若E是CD中点，求EB₁与平面AD₁E所成的角；
（3）设M在BB₁上，且

BM

MB1

=

2

3

，是否存在点E，使平面AD₁E⊥平面AME，若存在，指出点E的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

以D为坐标原点，DA，DC，DD₁依次为x轴、y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，
并设正方体棱长为1，设点E的坐标为E（0，t，0）
（1）

AD1

=(-1，0，1)，

EB1

=(1，1-t，1)
∵

AD1

•

EB1

=0，
∴EB₁⊥AD₁
（2）当E是CD中点时，

AD1

=(-1，0，1)，

AE

=(-1，

1

2

，0)，
设平面AD₁E的一个法向量是

n

=（x，y，z），
则由

AD1

•

n

=0，

AE

•

n

=0
得一组解是

n

=(1，2，1)，
又

EB1

=(1，1-t，1)，由cosθ=

EB1 • n

| EB1 || n |

=

6

3

，
从而直线EB₁与平面AD₁E所成的角的正弦值是

6

3

（3）设存在符合题意的E点为E（0，t，0）可得平面AD₁E的一个法向量是

a

=(t，1，t)，
平面AME的一个法向量是

b

=(t，1，-

5

2

)
∵平面AD₁E⊥平面AME，
∴

a

•

b

=t2+1-

5

2

t=0，
解得t=

1

2

或t=2（舍），
故当点E是CD的中点时，平面AD₁E⊥平面AME