Question

已知数列{a_n}，S_n是其前n项和，并且S_n+1=4a_n+2（n=1，2，…），aΘ=1．
（1）设数列b_n=a_n+1-2a_n（n=1，2，…）求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）设数列cn=

an

2n

（n=1，2，…）求证：数列{c_n}是等差数列；
（3）求数列{a_n}的通项公式及前n项和．

Answer 1

分析：（1）利用题意和S_n+1-S_n=a_n+1得到数列{a_n}的递推公式，再代入

bn

bn-1

进行化简，得到比值是常数即可；（2）由（1）可得b_n=a_n+1-2a_n=3•2^n-1，再代入c_n-c_n-1进行化简，得到差是常数即可；
（3）由（2）可求a_n=（3n-1）•2^n-2，代入s_n+1=4a_n+2可求s_n+1，进而求出s_n．

解答：解：（1）由题意得，S_n+1=4a_n+2   ①，
       当n≥2时   S_n=4a_n-1+2   ②，
①-②得，a_n+1=4a_n-4a_n-1，
∴当n≥2时，

bn

bn-1

=

an+1-2an

an-2an-1

=

4an-4an-1-2an

an-2an-1

=

2an-4an-1

an-2an-1

=2，
且b₁=a₂-2a₁=3，
∴{b_n}是以2为公比，3为首项的等比数列，
（2）由（1）得b_n=b₁•q^n-1=3•2^n-1，则a_n+1-2a_n=3•2^n-1，
∴a_n-2a_n-1=3•2^n-2，
当n≥2时，c_n-c_n-1=

an

2n

-

an-1

2n-1

=

an-2an-1

2n

=

3•2n-2

2n

=

3

4

，
且C₁=

a1

2

=

1

2

，
∴{C_n}为

3

4

为公差，以

1

2

为首项的等差数列，
（3）由（2）得C_n=C₁+（n-1）•d=

3n-1

4

，即

an

2n

=

3n-1

4

，
∴a_n=（3n-1）•2^n-2（n∈N^*）
∵S_n+1=4a_n+2，
∴S_n+1=4•（3n-1）•2^n-2+2=（3n-1）•2ⁿ+2
即S_n=（3n-4）2^n-1+2（n∈N^*）．

点评：本题主要考查了利用递推公式转化：“和”与“项”，进而求数列的递推公式，利用定义法证明数列是等差（等比）数列也是数列中的重点，要注意掌握运用．