Question

【题目】已知，动点满足，且，则在方向上的投影的取值范围是__________．

Answer 1

【答案】.

【解析】分析：方法一，根据已知条件计算和，结合数量积公式得到在方向上的投影为（也可以建立直角坐标系，通过向量的坐标运算求解），然后对分类讨论，运用换元法计算即可解答题目.

方法二，几何法，根据已知条件，得为等边三角形，再将.，转换成，且，确定点M的位置，结合图形和数量积的几何意义解答问题.

详解：方法一，，，，

在方向上的投影

设，

（1）当时，

（2）当时，令，则

①当时， ，，当时取得最大值.

②当时， ，，时

综上在方向上的投影的取值范围为

故答案为

方法二， ，

，，为等边三角形.

设，易得为直角三角形.

，且，

，且

点在直线BD上.

如图所示，点在直线BD上由左至右移动过程中，在方向上的投影先增大在减小

当时，在方向上的投影取得最大值2；

当在右侧无穷远处，近似于，在方向上的投影最小值接近于

所以在方向上的投影的取值范围为

故答案为