Question

【题目】（改编）已知正数数列的前项和为，且满足；在数列中，

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，数列的前项和为. 若对任意，存在实数，使恒成立，求的最小值；

（3）记数列的前项和为，证明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）见解析

【解析】分析：（1）根据及与间的关系可得数列为等差数列，进而可得通项公式；由两边取倒数后整理得，可得等比数列，从而可求得．（2）根据题意得到数列的通项公式，再根据错位相减法求得，根据的单调性和不等式可得，进而可得的范围．（3）根据及等比数列的求和公式可得．

详解：（1）∵，

∴，

∴，

整理得，

∵，

∴．

又当时，，解得，

∴数列是首项为，公差为1的等差数列，

∴．

将两边取倒数得，

∴，

又，

∴数列是首项为，公比为3的等比数列，

∴，

∴．

（2）由题意得，

∴ ①

∴ ②

①②得

，

∴．

易知数列单调递增，

∴．

又，

∴，

∴，

∴，

∴的最小值为．

（3）由题意得

　

∵，

∴，

∴．