题目内容
（1）在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆
+y2=1上的一个动点，求S=x+y的最大值．
（2）设a，b，c为正实数，求证：
+
+
+abc≥2
．
| x2 |
| 3 |
（2）设a，b，c为正实数，求证：
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| b3 |
| 1 |
| c3 |
| 3 |
考点：不等式的证明,椭圆的简单性质
专题：不等式的解法及应用,不等式
分析：本题（1）利用三角代换，将x+y转化为三角函数关系式，通过三角化简，求出S的最大值；（2）将原式配凑成积为定值的形式，利用基本不等式求出原式的最小值．
解答：
解：（1）∵点P（x，y）是椭圆
+y2=1上的一个动点，
∴设x=
cosθ，y=sinθ，θ∈R．
∴S=x+y=
cosθ+sinθ=2(
cosθ+
sinθ)=2sin(θ+
)≤2．
∴S=x+y的最大值为2．
（2）∵a，b，c为正实数，
∴
+
+
+abc=
+
+
+
abc+
abc+
abc
≥6
=6
=2
．
当且仅当
=
=
=
abc，即a=b=c=
时取等号．
∴
+
+
+abc≥2
．
| x2 |
| 3 |
∴设x=
| 3 |
∴S=x+y=
| 3 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
∴S=x+y的最大值为2．
（2）∵a，b，c为正实数，
∴
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| b3 |
| 1 |
| c3 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| b3 |
| 1 |
| c3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
≥6
| 6 |
| ||||||||||||
| 6 |
| ||
| 3 |
当且仅当
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| b3 |
| 1 |
| c3 |
| 1 |
| 3 |
| 6 | 3 |
∴
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| b3 |
| 1 |
| c3 |
| 3 |
点评：本题考查了三角代换求最值，基本不等式法求最值，注意在求和的最小值时，要运用基本不等式，就必须先将积凑成定值．本题有一定的综合性，属于中档题．
练习册系列答案
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等比数列{an}的各项均为正数，且a2a18=
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| 1 |
| 3 |
| A、5 | ||
| B、-5 | ||
C、
| ||
D、
|
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-
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| x2 |
| m+2 |
| y2 |
| m-1 |
A、（-
| ||
B、（-
| ||
| C、（-∞，1） | ||
| D、（-2，1） |
