Question

已知椭圆经过点，其离心率为，经过点，斜率为的直线与椭圆相交于两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求的取值范围；

（Ⅲ）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴分别相交于两点，则是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

试题解析：（Ⅰ）因为椭圆C的离心率，

，将点代入，得，

所求椭圆方程为． 4分

（Ⅱ）由已知条件，直线的方程为，代入椭圆方程得．

整理得   ①  

直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，

解得或．即的取值范围为.  8分

（Ⅲ）设，则，

由方程①，   ②     

又   ③  9分

而，．

所以与共线等价于，     10分

将②③代入上式，解得．      11分

由（1）知或，故没有符合题意的常数．