Question

已知函数f（x）满足f（1）=a，且f(n+1)=

f(n)-1 f(n) 2f(n)，f(n)≤1

，f(n)＞1，若对任意的n∈N^*总有f（n+3）=f（n）成立，则a在（0，1]内的可能值有 （　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

∵0＜a≤1，
∴f（2）=2f（1）=2a，
①当0＜a≤

1

4

时，0＜2a≤

1

2

，0＜4a≤1，
∴f（3）=2f（2）=4a，
f（4）=2f（3）=8a，
此时f（4）=f（1）不成立；
②当

1

4

＜a≤

1

2

时，

1

2

＜2a≤1，1＜4a≤2，
∴f（3）=2f（2）=4a，
f（4）=

f(3)-1

f(3)

=

4a-1

4a

，
此时f（4）=f（1）?

4a-1

4a

=a?a=

1

2

；
③当

1

2

＜a≤1时，1＜2a≤2，2＜4a≤4，
∴f（3）=

f(2)-1

f(2)

=

2a-1

2a

≤

1

2

，
∴f（4）=2f（3）=

2a-1

a

，
此时f（4）=f（1）?

2a-1

a

=a?a=1；
综上所述，当n=1时，有f（n+3）=f（n）成立时，
则a在（0，1]内的可能值有两个． 
故选B．