Question

已知m＞0，a，b∈R，求证：(

a+mb

1+m

)2≤

a2+mb2

1+m

．

Answer 1

分析：本题要证不等式要证(

a+mb

1+m

)2≤

a2+mb2

1+m

成立，两边同乘以公分母，只要证（a+mb）²≤（1+m）（a²+mb²），化简整理即证m（a²-2ab+b²）≥0，即证（a-b）²≥0，而（a-b）²≥0显然成立，得到原不等式成立．

解答：证明：∵m＞0，
∴1+m＞0，
∴要证(

a+mb

1+m

)2≤

a2+mb2

1+m

，
即证（a+mb）²≤（1+m）（a²+mb²），
即证m（a²-2ab+b²）≥0，
即证（a-b）²≥0，
而（a-b）²≥0显然成立，
故(

a+mb

1+m

)2≤

a2+mb2

1+m

．

点评：本题是从题目的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直直至最后，把要证明结论归结为判定一个明显的成立的条件为止，这个明显的条件可以是已知条件，定理，定义或公理．