Question

（09年长郡中学一模文）（13分）

若实数a≠0，函数，．
(I)令，求函数的单调区间；
(Ⅱ)若在区间(0，＋∞)上至少存在一点x₀，使得成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解析：(I)∵
    ∴       ………………………2分
    令得：x = －2或x = 1
　　当a > 0时，列表如下，

　　∴h(x)的单调递减区间是(－∞，－2)和(1，＋∞)，单调递增区间是(－2，1)         4分
　　

当a < 0时，列表如下，

　　∴h(x)的单调递增区间是(－∞，－2)和(1，＋∞)，单调递减区间是(－2，1)         6分

(Ⅱ)若在(0，＋∞)上至少存在一点x₀使得成立，
    则在(0，＋∞)上至少存在一解，
　　即在(0，＋∞)上至少存在一解    8分
    由(I)知，当a > 0时，函数在区间(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，
　　∴要满足条件应有函数的极大值，即 10分
　　当a < 0时，函数在区间(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，
　　且极小值为
　　∴此时在(0，＋∞)上至少存在一解；                               12分
　　综上，实数a的取值范围为．     13分